Упр.430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В1А и ВС>В1С. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Подробный ответ

1) Пусть $$BB_1$$ — биссектриса угла $$ABC$$. Тогда

$$\angle ABB_1=\angle B_1BC.$$

Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. Угол $$\angle BB_1A$$ — внешний угол этого треугольника, поэтому

$$\angle BB_1A=\angle ABB_1+\angle B_1AB.$$

Следовательно, $$\angle BB_1A>\angle ABB_1$$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит

$$BA>B_1A.$$

Аналогично, в треугольнике $$CBB_1$$ угол $$\angle BB_1C$$ — внешний, поэтому

$$\angle BB_1C=\angle B_1BC+\angle BCB_1,$$

откуда $$\angle BB_1C>\angle B_1BC$$. Тогда в треугольнике $$CBB_1$$ получаем

$$BC>B_1C.$$

2) Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, в котором $$\angle A=\angle C$$ и $$\angle B=\angle D$$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle C$$ и $$\angle B=\angle D$$, то

$$2\angle A+2\angle B=360^\circ,$$

откуда

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A$$ и $$\angle B$$ — односторонние углы при прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$, значит

$$AD \parallel BC.$$

Аналогично, из равенства

$$\angle B+\angle C=180^\circ$$

получаем

$$AB \parallel CD.$$

Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, значит $$ABCD$$ — параллелограмм.