Упр.425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
1) Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведены биссектрисы $$AM_1$$, $$BM_2$$, $$CM_3$$. Через вершины $$A$$, $$B$$, $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно этим биссектрисам: $$AQ \perp AM_1$$, $$BP \perp BM_2$$, $$CR \perp CM_3$$.
Докажем равенство углов треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$CRA$$.
Так как $$AM_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\angle BAM_1=\frac{1}{2}\angle BAC.$$
Поскольку $$AQ \perp AM_1$$, получаем
$$\angle QAB=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC.$$
Аналогично, так как $$BM_2$$ — биссектриса угла $$B$$ и $$BP \perp BM_2$$, имеем
$$\angle QBA=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ABC.$$
Тогда в треугольнике $$AQB$$
$$\angle AQB=180^\circ-\angle QAB-\angle QBA$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac{1}{2}\angle ABC\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\angle BAC+\angle ABC\right)=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ACB.$$
Аналогично для треугольника $$BPC$$:
$$\angle PBC=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ABC,$$
$$\angle PCB=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BCA,$$
поэтому
$$\angle BPC=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC.$$
Для треугольника $$CRA$$:
$$\angle CAR=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC,$$
$$\angle ACR=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BCA,$$
следовательно,
$$\angle CRA=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ABC.$$
Таким образом, у треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$CRA$$ соответственно равны все углы, значит, эти треугольники подобны.
2) Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$46$$ см, значит
$$2(AB+BC)=46,$$
откуда
$$AB+BC=23.$$
При $$AB=14$$ см получаем
$$BC=23-14=9\text{ см}.$$
В параллелограмме $$AD=BC=9$$ см, $$DC=AB=14$$ см.
Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$DC$$ в точке $$E$$. Тогда $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, а так как $$AB \parallel DC$$, то
$$\angle 1=\angle 2,$$
следовательно, треугольник $$ADE$$ равнобедренный, и
$$AD=DE=9\text{ см}.$$
Тогда
$$EC=DC-DE=14-9=5\text{ см}.$$
Значит, биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$.
Ответ
1) $$\triangle AQB \sim \triangle BPC \sim \triangle CRA$$; 2) сторона $$CD$$, $$DE=9$$ см, $$EC=5$$ см.
