Упр.425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
- Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$46\text{ см}$$, $$AB=14\text{ см}$$. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла $$A$$? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведены биссектрисы $$AM_1$$, $$BM_2$$, $$CM_3$$. Через вершины $$A$$, $$B$$ и $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно к этим биссектрисам. Обозначим точки их пересечения со сторонами треугольника так, как на рисунке: $$Q \in AQ$$, $$P \in BP$$, $$R \in CR$$.
Докажем, что углы получившихся треугольников равны попарно.
Так как $$AM_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\angle BAM_1=\frac12\angle BAC.$$
Поскольку $$AQ \perp AM_1$$, получаем
$$\angle QAB=90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Аналогично, так как $$CM_3$$ — биссектриса угла $$C$$ и $$CR \perp CM_3$$, имеем
$$\angle ACR=90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Кроме того, $$BM_2$$ — биссектриса угла $$B$$, значит
$$\angle QBA=90^\circ-\frac12\angle ABC,$$
$$\angle PBC=90^\circ-\frac12\angle ABC,$$
а также
$$\angle BCP=90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Теперь найдём третий угол каждого из треугольников.
Для $$\triangle AQB$$:
$$\angle AQB=180^\circ-\angle QAB-\angle QBA$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle ABC\right) =\frac12(\angle BAC+\angle ABC)$$
$$=\frac12(180^\circ-\angle ACB)=90^\circ-\frac12\angle ACB.$$
Для $$\triangle BPC$$:
$$\angle BPC=180^\circ-\angle PBC-\angle BCP$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle ABC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right) =\frac12(\angle ABC+\angle BCA)$$
$$=\frac12(180^\circ-\angle BAC)=90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Для $$\triangle ARC$$:
$$\angle CRA=180^\circ-\angle CAR-\angle ACR$$
Но $$\angle CAR=90^\circ-\frac12\angle BAC$$, поэтому
$$\angle CRA=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right)$$
$$=\frac12(\angle BAC+\angle BCA) =\frac12(180^\circ-\angle ABC)=90^\circ-\frac12\angle ABC.$$
Итак, у треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$ARC$$ соответственно равны все три угла:
$$\angle QAB=\angle BPC,\qquad \angle QBA=\angle BCP,\qquad \angle AQB=\angle CRA.$$
Следовательно, эти треугольники подобны, а значит, их углы соответственно равны.
