Упр.424 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен а. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Обозначим через $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ углы, на которые внешний угол при вершине $$B$$ разбивается биссектрисой $$BO$$, а через $$\angle 4$$ и $$\angle 5$$ — углы, на которые внешний угол при вершине $$C$$ разбивается биссектрисой $$CO$$.

Так как $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы внешних углов, то

$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 4=\angle 5.$$

Пусть $$\angle A=\alpha$$. Обозначим сумму внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ через $$\beta$$ и $$\gamma$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

По свойству смежных углов имеем

$$\angle B=180^\circ-\beta,\qquad \angle C=180^\circ-\gamma.$$

Подставим это в сумму углов треугольника:

$$\alpha+\left(180^\circ-\beta\right)+\left(180^\circ-\gamma\right)=180^\circ.$$

Отсюда

$$\alpha= \beta+\gamma-180^\circ,$$

то есть

$$\beta+\gamma=\alpha+180^\circ.$$

Так как $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы, то

$$\angle 1=\angle 2=\frac{\beta}{2},\qquad \angle 4=\angle 5=\frac{\gamma}{2}.$$

Углы $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ — вертикальные, значит

$$\angle 3=\frac{\beta}{2}.$$

А углы $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$ — вертикальные, значит

$$\angle 6=\frac{\gamma}{2}.$$

В треугольнике с вершиной $$O$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle 3+\angle 6+\angle BOC=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle BOC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2} =180^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2}.$$

С учётом $$\beta+\gamma=\alpha+180^\circ$$ получаем

$$\angle BOC=180^\circ-\frac{\alpha+180^\circ}{2} =90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Докажем второе утверждение. Предположим, что все углы выпуклого четырёхугольника не тупые. Тогда каждый из них меньше $$90^\circ$$, то есть все углы острые. Но сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $$360^\circ$$, а сумма четырёх острых углов меньше $$360^\circ$$. Противоречие.

Значит, если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Ответ: $$\angle BOC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$$; в выпуклом четырёхугольнике хотя бы один угол тупой.