Упр.419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АС1 = ВС2 и угол BAC1 = угол ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АВ. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения прямой $$C_1C_2$$ с прямой $$AB$$. Докажем, что $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle BC_2O$$.

Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C_1, O, C_2$$ — на одной прямой, то углы $$\angle AC_1O$$ и $$\angle OC_2B$$, а также $$\angle AOC_1$$ и $$\angle BOC_2$$ — накрест лежащие при пересечении параллельных прямых. Из условия $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$ следует, что прямые $$AC_1$$ и $$BC_2$$ параллельны.

Тогда

$$\angle AC_1O=\angle OC_2B,$$

а также по условию

$$AC_1=BC_2.$$

Кроме того, $$\angle AOC_1=\angle BOC_2$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AC_1O \cong \triangle BC_2O$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AO=OB.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Теперь докажем второе утверждение. Пусть в прямоугольнике $$ABCD$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины противоположных сторон $$BC$$ и $$AD$$, а точки $$G$$ и $$H$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$. Тогда прямая, проходящая через середины противоположных сторон, делит прямоугольник на два равных прямоугольника: соответствующие стороны равны, а все углы прямые.

При отражении относительно такой прямой одна половина прямоугольника переходит в другую, поэтому эта прямая является осью симметрии прямоугольника.

Ответ

Прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$. Прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.