Упр.419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$C_1$$ и $$C_2$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ и расположены так, что $$AC_1=BC_2$$ и угол $$BAC_1$$ равен углу $$ABC_2$$. Докажите, что прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.
2. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle OBC_2,$$ где $$O$$ — точка пересечения прямой $$C_1C_2$$ с прямой $$AB.$$

Так как $$AC_1=BC_2$$ и $$\angle BAC_1=\angle ABC_2,$$ а прямые $$AC_1$$ и $$BC_2$$ пересекают прямую $$AB,$$ то углы $$\angle AC_1O$$ и $$\angle O C_2B$$ — накрест лежащие, значит, $$AC_1 \parallel BC_2.$$

Тогда при секущей $$C_1C_2$$ получаем равенство накрест лежащих углов:

$$\angle AC_1O=\angle OC_2B.$$

Следовательно, в треугольниках $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle OBC_2$$ выполнены условия:

• $$AC_1=BC_2;$$
• $$\angle BAC_1=\angle ABC_2;$$
• $$\angle AC_1O=\angle OC_2B.$$

Значит, $$\triangle AC_1O \cong \triangle OBC_2$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда соответствующие стороны равны:

$$AO=OB.$$

Итак, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB,$$ а значит, прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB.$$

Ответ

Прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB.$$