Упр.417 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
- Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
Пусть данные шесть прямых разбиты на три пары пересекающихся прямых. Обозначим точки их попарных пересечений через $$O_1,\ O_2,\ O_3.$$
По условию через точку пересечения любых двух данных прямых проходит по крайней мере ещё одна из этих прямых. Значит, если две прямые пересекаются в точке $$O_1,$$ то через $$O_1$$ проходит и третья прямая. Аналогично для остальных пар.
Рассмотрим две пары прямых, пересекающихся в точках $$O_1$$ и $$O_2.$$ Тогда третья прямая каждой пары должна проходить через обе точки пересечения, то есть эти две точки должны совпадать. Иначе через одну из точек пересечения проходили бы только две прямые, что противоречит условию.
Следовательно, все шесть прямых проходят через одну и ту же точку.
Ответ
Все шесть прямых пересекаются в одной точке.
