Упр.417 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?

Подробный ответ

Рассмотрим любые две из данных прямых. По условию через точку их пересечения проходит ещё хотя бы одна из данных прямых. Значит, среди шести прямых нельзя получить три точки попарных пересечений, в каждой из которых сходятся только по две прямые.

Предположим, что все шесть прямых не проходят через одну точку. Тогда можно выбрать две точки пересечения, через каждую из которых проходит по три прямые: пусть прямые $$1,2,3$$ пересекаются в точке $$O_1$$, а прямые $$4,5,6$$ — в точке $$O_2$$. Тогда прямые из первой тройки не могут пересекаться с прямыми из второй тройки в новых точках, иначе в этих точках не проходила бы ещё хотя бы одна из данных прямых. Следовательно, все шесть прямых должны иметь общую точку пересечения, что и требовалось доказать.

Иначе говоря, если бы среди шести попарно пересекающихся прямых не было одной общей точки, то обязательно нашлись бы точки пересечения, через которые проходит только две прямые, а это противоречит условию.

Теперь найдём оси симметрии.

а) Отрезок имеет 2 оси симметрии: прямую, на которой он лежит, и серединный перпендикуляр к нему.

б) Прямая имеет бесконечно много осей симметрии: сама эта прямая и все прямые, перпендикулярные ей.

в) Луч имеет 1 ось симметрии — прямую, на которой он лежит.