Упр.411 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) 1) Отметим на прямой a произвольные точки A и B;
2) Отметим точки A_1 и B_1 симметрично точкам A и B;
3) Проведем прямую a_1 через данные точки A_1 и B_1;
б) 1) Отметим точку на пересечении окружности и a_1;
2) Из точки A опустим перпендикуляр на прямую b;
3) Отметим точку B на его пересечении с прямой a;
4) Построим отрезок с концами в точках A и B. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Подробный ответ

а) Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$A$$ и $$B$$. Построим точки $$A_1$$ и $$B_1$$, симметричные точкам $$A$$ и $$B$$ относительно прямой $$b$$. Тогда прямая, проходящая через точки $$A_1$$ и $$B_1$$, и есть искомая прямая $$a_1$$, симметричная прямой $$a$$ относительно прямой $$b$$.

б) Пусть прямая $$a_1$$ уже построена. Возьмём точку $$A_1$$ на пересечении окружности с прямой $$a_1$$. Из точки $$A_1$$ опустим перпендикуляр на прямую $$b$$ и обозначим точку его пересечения с прямой $$a$$ через $$A$$. Тогда прямая $$b$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA_1$$, а концы этого отрезка лежат соответственно на прямой $$a$$ и данной окружности.

Следовательно, искомый отрезок построен.

Ход решения

Пусть в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, а $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$. Через точку $$D$$ проведены прямые $$DE \parallel CB$$ и $$DF \parallel AC$$, где $$E \in AC$$, $$F \in CB$$.

Так как $$DF \parallel AC$$ и $$DE \parallel CB$$, то четырёхугольник $$CFDE$$ — параллелограмм.

Поскольку $$\angle C = 90^\circ$$, имеем $$AC \perp CB$$. Тогда из параллельности следует:

$$CF \parallel CB,\quad DF \parallel AC \Rightarrow CF \perp DF,$$

значит, параллелограмм $$CFDE$$ является прямоугольником.

Теперь рассмотрим угол $$\angle DCF$$. Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle DCF = \frac{1}{2}\angle C = 45^\circ.$$

В треугольнике $$CDF$$ угол при $$F$$ прямой, а один из острых углов равен $$45^\circ$$, значит, треугольник $$CDF$$ равнобедренный. Следовательно,

$$DF = CF.$$

Но в прямоугольнике $$CFDE$$ противоположные стороны равны, то есть

$$CF = DE,\quad DF = CE.$$

Из равенства $$CF = DF$$ получаем

$$CF = DF = DE = CE.$$