Упр.410 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) 1) Отметим на прямой b произвольные точки A и B;
2) Отметим точки A_1 и B_1 симметрично точкам A и B;
3) Проведем прямую b_1 через данные точки A_1 и B_1;
б) 1) Отметим точку A на пересечении прямых a и b_1;
2) Из точки A опустим перпендикуляр на прямую p;
3) Отметим точку B на его пересечении с прямой b;
4) Построим отрезок с концами в точках A и B. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Подробный ответ

а) Чтобы построить прямую $$b_1,$$ симметричную прямой $$b$$ относительно прямой $$p,$$ достаточно взять на прямой $$b$$ две произвольные точки $$A$$ и $$B,$$ построить точки $$A_1$$ и $$B_1,$$ симметричные точкам $$A$$ и $$B$$ относительно прямой $$p,$$ и провести через них прямую.

Тогда прямая $$b_1$$ будет образом прямой $$b$$ при осевой симметрии относительно $$p.$$

б) Пусть $$A = a \cap b_1.$$ Из точки $$A$$ опустим перпендикуляр на прямую $$p$$ и обозначим точку пересечения с прямой $$b$$ через $$B.$$ Тогда отрезок $$AB$$ имеет концы на прямых $$a$$ и $$b,$$ а прямая $$p$$ является осью симметрии этого отрезка, так как точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно $$p.$$

а) Четырёхугольник является квадратом только в том случае, если его диагонали обладают всеми свойствами квадрата: равны, взаимно перпендикулярны и пересекаются в серединах.

а) Если диагонали только равны и взаимно перпендикулярны, этого недостаточно: таким четырёхугольником может быть не квадрат.

б) Если диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, этого тоже недостаточно: такие свойства не гарантируют равенство всех сторон.

в) Если диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, то четырёхугольник является квадратом, так как это одновременно признаки прямоугольника и ромба.