Упр.408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
- Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:
а) его диагонали взаимно перпендикулярны;
б) диагональ делит его угол пополам.
Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$K$$, лежащей на диаметре $$MN$$ с центром $$O$$. Обозначим через $$E$$ и $$F$$ основания перпендикуляров, опущенных из $$O$$ на хорды $$AB$$ и $$CD$$ соответственно.
Так как равные хорды окружности равноудалены от центра, то
$$OE=OF.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OEK$$ и $$OFK$$. У них
$$OE=OF,$$
$$OK$$ — общая сторона,
$$\angle OEK=\angle OFK=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle OEK \cong \triangle OFK$$ по гипотенузе и катету. Отсюда
$$EK=KF.$$
Но в равных хордах перпендикуляр из центра делит хорду пополам, значит
$$AE=BE,\qquad CF=DF.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AOK$$ и $$DOK$$. Имеем
$$OA=OD$$
как радиусы окружности, $$OK$$ — общая сторона, а точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой с $$K$$, поэтому равенство $$EK=KF$$ показывает, что точка $$K$$ делит хорды симметрично относительно диаметра $$MN$$. Значит, соответствующие точки $$A$$ и $$D$$, а также $$B$$ и $$C$$ расположены симметрично относительно прямой $$MN$$.
Итак, хорды $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр.
