Упр.405 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть треугольник ABC-равнобедренный и BH-высота, тогда отрезок BH также является медианой, откуда следует AH=HC, то есть относительно прямой BH вершины A>C,C>A и B>B, что и требовалось доказать.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Пусть $$ABCD$$ — ромб и $$AB=BD$$. Тогда по определению ромба

$$AB=BC=CD=DA.$$

Из условия $$AB=BD$$ получаем, что

$$AB=BD=BC=CD=DA.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$BDC$$. У них

$$AB=BD,\quad BD=DC,\quad AD=BC.$$

Значит, оба треугольника равносторонние. Тогда

$$\angle A=\angle ABD=\angle ADB=60^\circ,$$

$$\angle C=\angle CBD=\angle CDB=60^\circ.$$

Следовательно, углы ромба при вершинах $$B$$ и $$D$$ равны

$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=60^\circ+60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle D=\angle ADB+\angle BDC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

Теперь найдём углы, которые диагонали образуют со сторонами. В ромбе диагональ биссектрисa углов, поэтому

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ,$$

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

Аналогично для остальных углов диагоналей с сторонами получаем те же значения.

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=60^\circ,\quad \angle B=\angle D=120^\circ.$$

б) Диагонали ромба образуют со сторонами углы $$30^\circ$$ и $$60^\circ$$.