Упр.404 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть a>a_1 и b>b_1 относительно некоторой прямой, отметим точки A принадлежит a,B принадлежит b и C=anb,тогда угол ACB=90°, по свойству симметрии A_1 B_1=AB,B_1 C_1=BC и A_1 C_1=AC, треугольники A_1 B_1 C_1 и ABC равны по третьему признаку, угол A_1 C_1 B_1=угол ACB=90°,значит данные прямые a_1 и b_1, перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Подробный ответ

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны, а относительно некоторой прямой получены симметричные им прямые $$a_1$$ и $$b_1$$. Возьмём точки $$A \in a$$, $$B \in b$$ и обозначим $$C = a \cap b$$. Тогда

$$\angle ACB = 90^\circ.$$

При симметрии сохраняются расстояния, значит

$$A_1B_1 = AB,\quad B_1C_1 = BC,\quad A_1C_1 = AC.$$

Следовательно, треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$ равны по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle A_1C_1B_1 = \angle ACB = 90^\circ.$$

Значит, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ перпендикулярны.

Докажем теперь, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C = 90^\circ$$, а $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то есть $$CO$$ — медиана. Проведём через точку $$O$$ отрезок $$OD$$ так, что $$OD = OC$$, и соединим точки $$A, B, C, D$$.

Так как диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам, то четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм. Кроме того, $$\angle ACB = 90^\circ$$, значит этот параллелограмм является прямоугольником.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$AO = OC,\quad BO = OD.$$

Но по построению $$OD = OC$$, значит

$$AO = BO = OC.$$

Так как $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то

$$AB = AO + OB = OC + OC = 2OC.$$

Следовательно,

$$OC = \frac{1}{2}AB.$$