Упр.399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть в треугольнике ABC отрезок BD является медианой, центр окружности O принадлежит BD, тогда BD является также и высотой, то есть AB=BC, или точки O и D совпадают, то есть O принадлежит AC и угол B=90°. Что и требовалось доказать.
Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BD$$ — медиана, а центр описанной окружности $$O$$ лежит на $$BD$$.

Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то он равноудалён от вершин треугольника: $$OA=OB=OC$$.

Рассмотрим два случая.

1. Точки $$O$$ и $$D$$ не совпадают.

Тогда прямая $$BD$$ проходит через центр окружности и середину хорды $$AC$$, значит, она является серединным перпендикуляром к $$AC$$. Следовательно, $$BD \perp AC$$.

Но $$BD$$ — медиана, значит, $$D$$ — середина $$AC$$. Тогда прямая $$BD$$, проходящая через середину $$AC$$ и перпендикулярная ей, является также высотой треугольника. Поэтому $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

2. Точки $$O$$ и $$D$$ совпадают.

Тогда центр описанной окружности лежит на стороне $$AC$$, а значит, $$AC$$ — диаметр окружности. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, следовательно, $$\angle B=90^\circ$$. Значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Итак, треугольник $$ABC$$ либо равнобедренный, либо прямоугольный.