Упр.397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны. Докажите, что хорда $$CD$$ является диаметром.
- Постройте равнобедренную трапецию $$ABCD$$:
а) по основанию $$AD$$, углу $$A$$ и боковой стороне $$AB$$;
б) по основанию $$BC$$, боковой стороне $$AB$$ и диагонали $$BD$$.
Так как $$AD \parallel BC,$$ то при секущей $$CD$$ получаем равенство накрест лежащих углов:
$$\angle ADC=\angle BCD.$$
При секущей $$AB$$ имеем:
$$\angle DAB=\angle ABC.$$
Поскольку $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанные углы, опирающиеся на него, прямые:
$$\angle ADB=90^\circ,\qquad \angle ACB=90^\circ.$$
Следовательно, точки $$D$$ и $$C$$ лежат на окружности с диаметром $$AB$$, а прямые $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Тогда в треугольниках $$AOD$$ и $$BOC$$:
$$\angle DAO=\angle CBO,$$
$$\angle ADO=\angle BCO,$$
$$\angle AOD=\angle BOC.$$
Значит, треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равны по двум углам и стороне между ними, откуда
$$\angle AOD=\angle BOC.$$
Но эти углы смежные при пересечении прямых $$AB$$ и $$CD$$ через точку $$O$$, поэтому точки $$C, O, D$$ лежат на одной прямой. Следовательно, $$O$$ принадлежит хорде $$CD$$.
Так как $$O$$ — центр окружности, то хорда $$CD$$ проходит через центр, значит, $$CD$$ — диаметр.
