Упр.396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две окружности имеют общую точку $$M$$ и общую касательную в этой точке. Прямая $$AB$$ касается одной окружности в точке $$A$$, а другой — в точке $$B$$. Докажите, что точка $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$.
2. Разделите данный отрезок $$AB$$ на $$n$$ равных частей.

Пусть прямая $$KM$$ — общая касательная окружностей в точке $$M$$, а прямая $$AB$$ касается первой окружности в точке $$A$$, второй — в точке $$B$$. Обозначим через $$K$$ точку пересечения прямых $$AB$$ и $$KM$$.

Тогда из одной точки $$K$$ к первой окружности проведены касательные $$KA$$ и $$KM$$, значит, $$KA=KM.$$

Аналогично, из точки $$K$$ ко второй окружности проведены касательные $$KB$$ и $$KM$$, поэтому $$KB=KM.$$

Следовательно, $$KA=KB.$$

Так как точки $$A$$, $$K$$, $$B$$ лежат на одной прямой и $$KA=KB,$$ то точка $$K$$ — середина отрезка $$AB$$.

Кроме того, из равенств $$KA=KM \quad \text{и} \quad KB=KM$$ получаем $$KA=KB=KM.$$

Значит, точки $$A$$, $$B$$, $$M$$ равноудалены от точки $$K$$. Следовательно, они лежат на окружности с центром в $$K$$ и радиусом $$KA.$$

Так как $$K$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$AB$$ является диаметром этой окружности. Поэтому точка $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$.