Упр.394 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Допустим, что касательные a и b, проведенные через концы хорды AB не пересекаются, тогда по свойству касательной и радиуса OA перпендикулярно a и OB перпендикулярно b, но a || b откуда следует, что точки O, A и B лежат на одной прямой, это противоречит условию задачи, что и требовалось доказать. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Подробный ответ

Пусть касательные, проведённые через концы хорды $$AB$$, обозначены через $$a$$ и $$b$$. Предположим, что они не пересекаются. Тогда, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, имеем:

$$OA \perp a,\qquad OB \perp b.$$

Если прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются, то они параллельны: $$a \parallel b$$. Но тогда две прямые, перпендикулярные параллельным прямым, тоже параллельны, значит, $$OA \parallel OB$$. Поскольку обе прямые проходят через точку $$O$$, они совпадают, то есть точки $$O, A, B$$ лежат на одной прямой.

Это означает, что хорда $$AB$$ проходит через центр окружности, то есть является диаметром. Но по условию хорда $$AB$$ не является диаметром. Получили противоречие.

Следовательно, касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Теперь рассмотрим задачу о параллелограмме. Пусть даны три точки $$A, B, C$$, не лежащие на одной прямой. Чтобы построить параллелограмм с тремя вершинами в этих точках, нужно выбрать, какая из данных точек будет общей вершиной двух соседних сторон, а четвёртую вершину построить по свойству параллелограмма.

Возможны три случая:

$$A$$ — общая вершина, тогда через $$B$$ проводим прямую, параллельную $$AC$$, а через $$C$$ — прямую, параллельную $$AB$$;
$$B$$ — общая вершина;
$$C$$ — общая вершина.

В каждом случае получается один параллелограмм. Значит, всего можно построить $$3$$ параллелограмма.