Упр.394 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Даны три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Подробный ответ

Пусть через концы хорды $$AB$$ проведены касательные $$a$$ и $$b$$. Предположим, что они не пересекаются. Тогда, по свойству касательной, радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OA \perp a,\qquad OB \perp b.$$

Если $$a \parallel b$$, то прямые, перпендикулярные им, тоже параллельны. Значит, $$OA \parallel OB$$. Но обе эти прямые проходят через точку $$O$$, следовательно, точки $$O, A, B$$ лежат на одной прямой.

Это означает, что хорда $$AB$$ проходит через центр окружности, то есть является диаметром. Получили противоречие с условием, что $$AB$$ не диаметр.

Следовательно, касательные $$a$$ и $$b$$ пересекаются.