Упр.393 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Треугольник имеет три вершины, значит одна из них лежит на оси симметрии, при этом остальные вершины лежат по разные стороны от нее, пусть AH-ось симметрии и H принадлежит BC, тогда AH перпендикулярно BC и BH=HC, значит A -> A и B -> C, отсюда верно AB=AC, что и требовалось доказать.
Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали. Решение в) Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам MlN1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.

Если треугольник имеет ось симметрии, то одна его вершина лежит на этой оси, а две другие переходят друг в друга при отражении относительно оси. Пусть осью симметрии является прямая $$AH$$, где $$H \in BC$$. Тогда $$AH \perp BC$$ и $$BH=HC$$.

При отражении относительно оси симметрии точка $$A$$ переходит сама в себя, а точки $$B$$ и $$C$$ меняются местами. Значит, соответствующие стороны равны:

$$AB=AC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, а прямая $$AH$$ является серединным перпендикуляром к основанию $$BC$$.

Построение параллелограмма.

а) По двум смежным сторонам и углу между ними.

Пусть даны отрезки $$a$$, $$b$$ и угол $$\alpha$$. Строим угол $$\alpha$$. На его сторонах откладываем от вершины угла отрезки, равные $$a$$ и $$b$$. Через полученные точки проводим прямые, параллельные противоположным сторонам угла. Их пересечение даст четвёртую вершину параллелограмма.

б) По двум диагоналям и углу между ними.

Пусть даны диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$ и угол $$\varphi$$ между ними. Строим угол $$\varphi$$. На его сторонах откладываем половины диагоналей: $$\frac{d_1}{2}$$ и $$\frac{d_2}{2}$$ от общей вершины. Получаем точки, симметричные относительно середины диагоналей. Затем достраиваем параллелограмм по свойству: диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам.

в) По двум смежным сторонам и диагонали, соединяющей их концы.

Пусть даны отрезки $$M_1N_1$$, $$M_2N_2$$ и $$M_3N_3$$. Требуется построить параллелограмм $$ABCD$$, у которого $$AB=M_1N_1$$, $$AD=M_2N_2$$, $$BD=M_3N_3$$.

Построение:

1. Проводим прямую $$a$$ и отмечаем на ней точку $$A$$.
2. С помощью циркуля откладываем на прямой отрезок $$AD$$, равный $$M_2N_2$$.
3. Проводим окружность с центром $$A$$ радиуса $$M_1N_1$$ и окружность с центром $$D$$ радиуса $$M_3N_3$$. Их точка пересечения обозначим $$B$$.
4. Через точки $$B$$ и $$D$$ проводим прямую, параллельную $$AB$$, а через точки $$B$$ и $$A$$ — прямую, параллельную $$AD$$. Их пересечение обозначим $$C$$.
5. Соединяем точки $$A, B, C, D$$. Получаем искомый параллелограмм.

Построение верно, так как в полученном четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, а по построению $$AB$$, $$AD$$ и $$BD$$ равны данным отрезкам.

Ответ

Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный, а ось симметрии является серединным перпендикуляром к основанию. Параллелограмм строится по указанным выше шагам для пунктов а), б), в).