Упр.388 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 388. На рисунке 180, б точки А и A_1, B и B_1 симметричны относительно прямой р. Найдите длины отрезков АВ и A_1B_1, если AA_1=5 см, BB_1=15 см. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Точки $$A$$ и $$A_1$$ симметричны относительно прямой $$p$$, значит прямая $$p$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA_1$$. Поэтому любая точка на одной стороне симметрии переходит в точку на другой стороне на таком же расстоянии от $$p$$.

Аналогично, точки $$B$$ и $$B_1$$ симметричны относительно $$p$$.

Рассмотрим отрезок $$BB_1$$. Он состоит из трёх частей:

$$BB_1=BA+AA_1+A_1B_1.$$

Так как точки $$A$$ и $$A_1$$ симметричны, а точки $$B$$ и $$B_1$$ симметричны относительно одной и той же прямой, то

$$BA=A_1B_1,\qquad A_1B=AB_1.$$

Но из симметрии также следует, что отрезки от точки до её симметричной точки равны, поэтому

$$AB_1=BA=AB,\qquad A_1B= A_1B_1.$$

Следовательно, в данной конфигурации

$$BB_1=AB+AA_1+AB=2AB+5.$$

Подставим известное значение:

$$15=2AB+5,$$

$$2AB=10,$$

$$AB=5\text{ см}.$$

Теперь найдём $$A_1B_1$$. По симметрии относительно прямой $$p$$ отрезки $$AB$$ и $$A_1B_1$$ равны, значит

$$A_1B_1=AB=5\text{ см}.$$

Итак,

$$AB=5\text{ см},\qquad A_1B_1=5\text{ см}.$$

Ответ

$$AB=5\text{ см},\ A_1B_1=5\text{ см}.$$