Упр.377 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две точки $$A$$ и $$B$$, симметричные относительно некоторой прямой, и точка $$M$$. Постройте точку, симметричную точке $$M$$ относительно той же прямой.
- В параллелограмме $$MNPQ$$ проведён перпендикуляр $$NH$$ к прямой $$MQ$$, причём точка $$H$$ лежит на стороне $$MQ$$. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что $$MH=3\text{ см}$$, $$HQ=5\text{ см}$$, $$\angle MNH=30^\circ$$.
Так как $$MNPQ$$ — параллелограмм, то $$MN=PQ$$, $$MQ=NP$$, а противоположные углы равны.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MNH$$: по условию $$NH\perp MQ$$, значит $$\angle MHN=90^\circ$$. Тогда
$$\angle NMH=90^\circ-\angle MNH=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Поэтому
$$MN=2MH=2\cdot 3=6\text{ см}.$$
Тогда
$$PQ=MN=6\text{ см}.$$
Кроме того,
$$MQ=MH+HQ=3+5=8\text{ см},$$
следовательно,
$$NP=MQ=8\text{ см}.$$
Найдём углы параллелограмма. Так как $$\angle NMH=60^\circ$$, а $$MH\subset MQ$$, то
$$\angle M=60^\circ.$$
Соседние углы параллелограмма supplementary, значит
$$\angle N=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Противоположные углы равны, поэтому
$$\angle P=60^\circ,\qquad \angle Q=120^\circ.$$
Ответ: $$MN=PQ=6\text{ см},\; MQ=NP=8\text{ см},\; \angle M=\angle P=60^\circ,\; \angle N=\angle Q=120^\circ.$$
