Упр.372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна $$c$$, а сумма катетов $$m$$.
2. Периметр параллелограмма равен $$48\text{ см}$$. Найдите стороны параллелограмма, если:
   а) одна сторона на $$3\text{ см}$$ больше другой;
   б) разность двух сторон равна $$7\text{ см}$$;
   в) одна из сторон в два раза больше другой.

В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов, а радиус окружности равен расстоянию от центра до каждой стороны.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$. Тогда на катетах треугольника отрезки, прилежащие к вершине прямого угла, равны $$r$$, а на гипотенузе сумма двух таких отрезков равна $$c-2r$$.

Пусть точки касания окружности со сторонами треугольника делят катеты на отрезки, равные $$r$$ и соответствующие части. Тогда сумма катетов равна

$$AB+BC=c+2r.$$

По условию $$AB+BC=m$$, значит

$$m=c+2r.$$

Отсюда

$$2r=m-c,$$

следовательно, диаметр вписанной окружности равен

$$d=2r=m-c.$$

Ответ: $$m-c$$.