Упр.369 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Из вершины прямого угла B проведем медиану BO, по свойству медианы прямоугольного треугольника имеем OC=OA=OB, то есть точка O равноудалена от вершин треугольника ABC и является центром описанной окружности, что и требовалось доказать.
Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если угол A = угол B = угол C, a угол D = 135°.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle B=90^\circ$$. Проведём из вершины прямого угла $$B$$ медиану $$BO$$ к гипотенузе $$AC$$.

По свойству медианы прямоугольного треугольника точка $$O$$ — середина гипотенузы — равноудалена от всех вершин треугольника:

$$OA=OB=OC.$$

Значит, точка $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Следовательно, центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина его гипотенузы.

Теперь найдём углы выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$. Сумма его внутренних углов равна:

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle B=\angle C$$ и $$\angle D=135^\circ$$, значит:

$$\angle A+\angle B+\angle C+135^\circ=360^\circ,$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=225^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle B=\angle C$$, получаем:

$$\angle A=\angle B=\angle C=\frac{225^\circ}{3}=75^\circ.$$

Ответ

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.
$$\angle A=\angle B=\angle C=75^\circ.$$