Упр.365 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Ответ: внутри треугольника.
2) Ответ: внутри треугольника.
3) Ответ: внутри треугольника. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Центр вписанной окружности любого треугольника — это точка пересечения биссектрис его углов. Эта точка всегда лежит внутри треугольника, независимо от того, тупоугольный он, прямоугольный или остроугольный.

Значит, во всех трёх случаях центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Для выпуклого многоугольника сумма внутренних углов равна $$\left(n-2\right)\cdot 180^\circ,$$ где $$n$$ — число сторон. Если каждый угол равен $$d^\circ,$$ то

$$nd=\left(n-2\right)\cdot 180^\circ.$$

Отсюда

$$nd=180^\circ n-360^\circ,$$

$$360^\circ=n\left(180^\circ-d\right),$$

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-d}.$$

Теперь найдём число сторон:

а) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-90^\circ}=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4;$$

б) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-60^\circ}=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3;$$

в) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-120^\circ}=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6;$$

г) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-108^\circ}=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5.$$

Ответ

Центр вписанной окружности во всех трёх треугольниках расположен внутри треугольника.

а) $$4$$; б) $$3$$; в) $$6$$; г) $$5$$.