Упр.357 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
O-ц.окр;
AH=8 см;
угол AOB=90°;
OK перпендикулярно AB;
Найти:
OK;
Решение:
1) В данной окружности:
OK перпендикулярно AB, AK=1/2•AB=4;
2) В прямоугольном треугольнике OBA:
OA=OB; угол A=1/2•90°=45°;
3) В прямоугольном треугольнике AKO:
угол KAO=45°, KO=AK=4;
Ответ: 4 см. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — данная прямая, $$O$$ — центр окружности, $$K$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$OK$$ — искомое расстояние от центра окружности до прямой.

Так как $$OK \perp AB$$, то точка $$K$$ делит хорду $$AB$$ пополам:

$$AK=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB$$, то он равнобедренный. Кроме того, $$\angle AOB=90^\circ$$, значит, его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOK$$ угол $$\angle OAK=45^\circ$$, а $$\angle AKO=90^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AOK$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому

$$OK=AK=4\text{ см}.$$

Ответ

$$4\text{ см}$$

Ход решения

Точка, равноудалённая от двух пересекающихся прямых, должна лежать на биссектрисе угла между ними. Так как пересекающиеся прямые образуют четыре угла, то нужно рассмотреть биссектрисы двух пар вертикальных углов.

Искомые точки — это точки пересечения биссектрис с окружностью. В зависимости от расположения окружности относительно биссектрис возможны: