Упр.355 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
O-ц.окр;
AB-касат;
AC-касат;
угол OAB=30°;
AB=5 см;
Найти:
BC;
Решение:
1) В данной окружности:
угол OBA=90°; угол OCA=90°;
OB=OC, AB=AC=5;
2) Равны по трем сторонам:
треугольник OAB=треугольник OAC; угол BAO=угол CAO;
угол BAC=угол BAO+угол CAO=60°;
3) В треугольнике ABC:
угол A=60°, AB=AC=5;
BC=AB=AC=5;
Ответ: 5 см. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма АМ + МВ имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы АХ + ХВ, где X — любая точка прямой а, отличная от М.

Подробный ответ

Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$\angle OBA=90^\circ,\qquad \angle OCA=90^\circ.$$

Кроме того, $$OB=OC$$ как радиусы одной окружности, а $$OA$$ — общая сторона. Значит, треугольники $$\triangle OAB$$ и $$\triangle OAC$$ равны по трём сторонам:

$$OA=OA,\quad OB=OC,\quad AB=AC.$$

Отсюда

$$\angle BAO=\angle CAO.$$

По условию $$\angle OAB=30^\circ$$, значит

$$\angle BAO=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAC=\angle BAO+\angle CAO=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Так как касательные, проведённые из одной точки, равны, то

$$AB=AC=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=AC$$ и $$\angle A=60^\circ$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ равносторонний, поэтому

$$BC=AB=5\text{ см}.$$