Упр.354 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 162 $$OB=3\text{ см}$$, $$OA=6\text{ см}$$. Найдите угол 3 и угол 4.
- Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?
Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:
$$\angle OBA=90^\circ,\qquad \angle OCA=90^\circ.$$
Кроме того, $$OB=OC=R=3$$ см. По условию $$OA=6$$ см, значит
$$OB=\frac12\,OA.$$
Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$OBA$$ угол при вершине $$A$$ равен $$30^\circ$$, так как в прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $$30^\circ$$:
$$\angle OAB=30^\circ.$$
Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$OCA$$ имеем $$OC=OB$$ и $$OA$$ — общая гипотенуза, поэтому треугольники $$OBA$$ и $$OCA$$ равны по гипотенузе и катету. Отсюда
$$\angle OAC=\angle OAB=30^\circ.$$
Значит, искомые углы равны:
$$\angle BAO=30^\circ,\qquad \angle CAO=30^\circ.$$
Ответ: $$30^\circ,\ 30^\circ$$.
