Упр.353 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дано:
O-ц.окр;
AB-касат;
AC-касат;
OE=AE;
Найти:
угол BAC;
Решение:
1) В данной окружности:
угол OBA=90°; угол OCA=90°;
OB=OC=OE=AE=R;
2) В прямоугольном треугольнике OBA:
OB=1/2 OA,отсюда угол A=30°;
3) По гипотенузе и катету:
треугольник OBA=треугольник OCA; угол OAB=угол OAC;
угол BAC=угол OAB+угол OAC=60°;
Ответ: 60°. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
Пусть $E$ — середина отрезка $AO$. По условию $E$ лежит на окружности, значит
$$OE=AE=R,$$
где $R$ — радиус окружности. Тогда
$$OA=OE+EA=2R,$$
то есть
$$OB=\frac{1}{2}OA.$$
Так как $AB$ — касательная, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:
$$\angle OBA=90^\circ.$$
Следовательно, треугольник $OBA$ прямоугольный, и в нём катет $OB$ равен половине гипотенузы $OA$. Значит, этот треугольник равнобедренный прямоугольный с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, поэтому
$$\angle OAB=30^\circ.$$
Аналогично, так как $AC$ — касательная, то
$$\angle OCA=90^\circ,$$
и в прямоугольном треугольнике $OCA$ получаем
$$\angle OAC=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle BAC=\angle OAB+\angle OAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$
Ответ
$$60^\circ$$
Решение
Пусть $M$ — искомая точка на окружности, равноудалённая от концов отрезка $AB$. Тогда
$$MA=MB,$$
значит, точка $M$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.
Следовательно, нужно построить серединный перпендикуляр к $AB$ и найти его пересечения с данной окружностью.
- Если серединный перпендикуляр не пересекает окружность, решений нет.
- Если он касается окружности, есть одно решение.
- Если он пересекает окружность в двух точках, есть два решения.
Ответ
Задача может иметь $0$, $1$ или $2$ решения.
