Упр.351 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Угол между диаметром $$AB$$ и хордой $$AC$$ равен $$30^\circ$$. Через точку $$C$$ проведена касательная, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что треугольник $$ACD$$ равнобедренный.
- Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.
Пусть $$O$$ — центр окружности. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой. Касательная $$CD$$ проведена в точке $$C$$, значит радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:
$$OC \perp CD,$$
то есть $$\angle OCD=90^\circ$$.
Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$OA=OC$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$AOC$$ равнобедренный. По условию $$\angle OAC=30^\circ$$, значит
$$\angle ACO=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle AOC=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$
Поскольку точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle COB=180^\circ-\angle AOC=60^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$OCD$$ имеем
$$\angle COD=\angle COB=60^\circ,$$
так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой. Следовательно,
$$\angle ODC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
Теперь рассмотрим углы треугольника $$ACD$$:
$$\angle CAD=\angle OAC=30^\circ,$$
потому что точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой.
Кроме того,
$$\angle CDA=\angle ODC=30^\circ.$$
Значит, в треугольнике $$ACD$$ два угла равны, поэтому он равнобедренный:
$$AC=CD.$$
Следовательно, треугольник $$ACD$$ равнобедренный, что и требовалось доказать.
