Упр.348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках $$A$$ и $$D$$, а вторая — в точках $$B$$ и $$C$$. Докажите, что $$AB=CD$$.
2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Пусть $$\angle B=\alpha.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\angle A=90^\circ-\alpha.$$

Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle ACD=\angle BCD=\frac{1}{2}\angle C=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Поскольку $$CH$$ — высота, то $$CH\perp AB$$, значит

$$\angle ACH=90^\circ-\angle A=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана $$CM$$, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому

$$CM=MB=MC.$$

Следовательно, треугольник $$CMB$$ равнобедренный, и потому

$$\angle BCM=\angle CBM=\alpha.$$

Тогда

$$\angle MCD=\angle BCD-\angle BCM=45^\circ-\alpha,$$

а также

$$\angle HCD=\angle ACD-\angle ACH=45^\circ-\alpha.$$

Значит,

$$\angle HCD=\angle MCD,$$

то есть биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам.

Ответ

$$\angle HCD=\angle MCD.$$