Упр.347 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$p$$ является касательной к окружности с центром $$O$$, $$A$$ — точка касания. На этой прямой отмечены точки $$B$$, $$C$$ и $$D$$ так, что точка $$A$$ лежит между точками $$B$$ и $$C$$, а точка $$C$$ — между точками $$A$$ и $$D$$. Укажите:
а) какие из следующих отрезков являются касательными: $$AC$$, $$BC$$, $$CD$$;
б) какие из следующих лучей являются касательными: $$AC$$, $$CA$$, $$CD$$, $$DB$$? - Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.
Пусть $$\triangle ABC$$ — неравнобедренный, $$AM$$ — медиана, $$AD$$ — биссектриса, $$AH$$ — высота.
Докажем, что точка $$D$$ лежит между основаниями медианы и высоты, то есть $$D \in HM$$.
Так как $$AB < AC$$, то против меньшей стороны лежит меньший угол, значит
$$\angle ADB < \angle ADC.$$
С другой стороны, углы $$\angle ADB$$ и $$\angle ADC$$ смежные, поэтому
$$\angle ADB+\angle ADC=180^\circ.$$
Из двух последних равенств получаем:
$$\angle ADB<90^\circ,\qquad \angle ADC>90^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$ADC$$ тупоугольный, а высота $$AH$$ из вершины $$A$$ падает на продолжение стороны $$DC$$. Значит, точка $$H$$ лежит на прямой $$DB$$.
Кроме того, в треугольнике $$ABC$$ медиана $$AM$$ делит сторону $$BC$$ пополам, поэтому $$BM=MC$$, а так как $$AB<AC$$, то
$$BD<DC.$$
Тогда точка $$D$$ лежит между точками $$H$$ и $$M$$, то есть
$$D \in HM.$$
Ответ: основание биссектрисы $$D$$ лежит между основаниями медианы $$M$$ и высоты $$H$$, то есть $$D \in HM$$.
