Упр.342 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дано:
OF=OH;
OF перпендикулярно AC;
OH перпендикулярно DE;
Доказать:
AC=DE;
Решение:
1) В данной окружности:
OF перпендикулярно AC, отсюда AF=FC;
OH перпендикулярно DE, отсюда EH=HD;
2) По гипотенузе и катету:
OA=OE=R, OF=OH;
треугольник AFO=треугольник EHO, AF=EH;
AC=2•AF=2•EH=DE;
Что и требовалось доказать. Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
Пусть из центра окружности $$O$$ к хордам $$AC$$ и $$DE$$ проведены перпендикуляры $$OF$$ и $$OH$$ соответственно, причём $$OF=OH$$.
Так как перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам, то
$$AF=FC,\qquad EH=HD.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AFO$$ и $$EHO$$. У них
$$OA=OE$$ — как радиусы одной окружности,
$$OF=OH$$ — по условию.
Следовательно, $$\triangle AFO \cong \triangle EHO$$ по гипотенузе и катету. Отсюда
$$AF=EH.$$
Тогда
$$AC=AF+FC=2AF,$$
$$DE=EH+HD=2EH.$$
Так как $$AF=EH$$, то
$$AC=2AF=2EH=DE.$$
Значит, хорды равны.
Ответ
$$AC=DE.$$
Ход решения
Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$BM$$ является медианой, то есть $$AM=MC$$.
Биссектриса делит угол пополам, значит
$$\angle ABM=\angle MBC.$$
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CBM$$. У них
$$BM$$ — общая сторона,
$$AM=MC$$,
$$\angle ABM=\angle MBC.$$
Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle CBM$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$AB=BC.$$
Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
Ответ
Если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
