Упр.339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если $$AB$$ — диаметр окружности и $$C$$ — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой $$AB$$, то угол $$ACB$$ острый.
2. Отрезок $$BB_1$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BA>B_1A$$ и $$BC>B_1C$$.

Пусть прямая $$BC$$ пересекает окружность в точке $$E$$, отличной от $$B$$. Тогда $$BE$$ — хорда, а так как $$AB$$ — диаметр, то по теореме Фалеса

$$\angle AEB=90^\circ.$$

Точка $$C$$ лежит вне окружности и не лежит на прямой $$AB$$, значит луч $$EC$$ выходит за пределы окружности. Поэтому угол $$AEC$$ является внешним к углу $$AEB$$, и

$$\angle AEC=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. В нём

$$\angle ACB=90^\circ-\angle CAE.$$

Так как $$\angle CAE>0^\circ$$, то

$$\angle ACB<90^\circ.$$

Следовательно, угол $$ACB$$ острый, что и требовалось доказать.