Упр.339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
C леж.вне окр;
AB-диаметр;
Доказать:
угол ACB<90°; Решение: 1) На пересечении BC и данной окружности построим точку E: угол AEB=90°, угол AEC=90°; 2) В треугольнике AEC: угол ACB=(90°-угол CAE)<90°; Что и требовалось доказать. Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В1А и ВС>В1С.

Пусть $$B_1$$ — точка пересечения биссектрисы $$BB_1$$ с прямой $$AC$$.

Так как $$BB_1$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то

$$\angle ABB_1=\angle B_1BC.$$

Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. Угол $$\angle BB_1A$$ — внешний при вершине $$B_1$$, поэтому

$$\angle BB_1A=\angle ABB_1+\angle B_1AB.$$

Отсюда $$\angle BB_1A>\angle ABB_1$$, значит, в треугольнике $$ABB_1$$ против большего угла лежит большая сторона:

$$AB>AB_1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCB_1$$. Угол $$\angle BB_1C$$ — внешний при вершине $$B_1$$, поэтому

$$\angle BB_1C=\angle B_1BC+\angle BCB_1.$$

Следовательно, $$\angle BB_1C>\angle B_1BC$$, а значит, в треугольнике $$BCB_1$$

$$BC>CB_1.$$

Итак,

$$BA>B_1A,\qquad BC>B_1C.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$BA>B_1A,\quad BC>B_1C.$$