Упр.335 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Отметим точки D и E на продолжении CB и BC;
2) Отметим точки F и G на продолжении AB и AC;
3) Углы угол ABD и угол CBF являются вертикальными;
4) Прямая BO является биссектрисой угла угол CBF;
5) Точка O равноудалена от прямых AB и BC;
6) Углы угол ACE и угол BCG являются вертикальными;
7) Прямая CO является биссектрисой угла угол BCG;
8) Точка O равноудалена от прямых AC и BC;
Что и требовалось доказать.
В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

Подробный ответ

Обозначим через $$l_B$$ и $$l_C$$ биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$. По условию они пересекаются в точке $$O$$.

Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Значит, так как $$O \in l_B$$, то точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$BC$$.

Аналогично, так как $$O \in l_C$$, то точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AC$$ и $$BC$$.

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$.

Что и требовалось доказать.

Теперь определим вид треугольника.

а) Если сумма любых двух углов больше $$90^\circ$$, то, в частности,
$$ \angle A+\angle B>90^\circ,\quad \angle B+\angle C>90^\circ,\quad \angle A+\angle C>90^\circ. $$
Если бы какой-нибудь угол был не меньше $$90^\circ$$, то сумма двух других углов была бы не больше $$90^\circ$$, что противоречит условию. Значит, каждый угол меньше $$90^\circ$$, то есть треугольник остроугольный.

б) Если каждый угол меньше суммы двух других, то
$$ \angle A<\angle B+\angle C,\quad \angle B<\angle A+\angle C,\quad \angle C<\angle A+\angle B. $$
Так как
$$ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ, $$
то ни один угол не может быть больше или равен $$90^\circ$$, иначе сумма двух остальных была бы меньше или равна этому углу. Следовательно, все углы треугольника острые, и треугольник остроугольный.