Упр.334 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Даны угол и отрезок $$AB$$. Постройте точку $$M$$, равноудалённую от сторон угла и такую, что $$MA=MB$$.
Задание учебника 2023 года. Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Подробный ответ

Пусть биссектриса угла пересекает стороны угла в точках, а серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ — в точке $$M$$. Тогда точка $$M$$ удовлетворяет обоим условиям задачи.

Действительно, если $$M$$ лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон. Значит, из точки $$M$$ можно опустить перпендикуляры $$ME$$ и $$MF$$ на стороны угла, и будет $$ME=MF$$.

Если же $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$, то она равноудалена от концов отрезка, то есть $$MA=MB$$.

Следовательно, искомая точка $$M$$ — это точка пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к отрезку $$AB$$.