Упр.334 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
1) Построим биссектрису заданного угла;
2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB;
3) На пересечении построенных линий отметим точку M;
4) Опустим перпендикуляры ME и MF на стороны угла;
5) Тогда ME=MF и MA=MB-точка найдена. Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
Пусть дан треугольник $$ABC$$. Проведём биссектрисы $$AM_1$$, $$BM_2$$, $$CM_3$$. Через вершины $$A$$, $$B$$, $$C$$ проведём прямые, перпендикулярные соответственно биссектрисам $$AM_1$$, $$BM_2$$, $$CM_3$$.
Обозначим точки пересечения этих прямых так, как на рисунке: $$Q$$, $$P$$, $$R$$. Тогда нужно доказать, что углы треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$ARC$$ попарно равны.
Рассмотрим углы треугольника $$ARC$$.
Так как $$AM_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\angle M_1AC=\angle BAM_1=\frac12\angle BAC.$$
Поскольку $$AQ\perp AM_1$$, получаем
$$\angle CAQ=90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Аналогично, так как $$CM_3$$ — биссектриса угла $$C$$ и $$CR\perp CM_3$$, имеем
$$\angle ACR=90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Тогда третий угол треугольника $$ARC$$ равен
$$ \angle CRA=180^\circ-\angle CAQ-\angle ACR $$
$$ =180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right) =\frac12(\angle BAC+\angle BCA). $$
Так как $$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^\circ$$, то
$$ \angle CRA=90^\circ-\frac12\angle ABC. $$
Теперь рассмотрим треугольник $$BPC$$. Поскольку $$BM_2$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$BP\perp BM_2$$, то
$$\angle PBC=90^\circ-\frac12\angle ABC.$$
Кроме того, $$CP\perp CM_3$$, значит
$$\angle BCP=90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Следовательно,
$$ \angle BPC=180^\circ-\angle PBC-\angle BCP $$
$$ =180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle ABC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right) =\frac12(\angle ABC+\angle BCA) $$
$$ =90^\circ-\frac12\angle BAC. $$
Аналогично для треугольника $$AQB$$:
$$\angle QAB=90^\circ-\frac12\angle BAC,$$
$$\angle QBA=90^\circ-\frac12\angle ABC,$$
$$ \angle AQB=180^\circ-\angle QAB-\angle QBA =90^\circ-\frac12\angle ACB. $$
Итак, во всех трёх треугольниках соответствующие углы равны:
$$\angle CAQ=\angle PBC=\angle QAB,$$
$$\angle ACR=\angle BCP=\angle QBA,$$
$$\angle CRA=\angle BPC=\angle AQB.$$
Значит, треугольники $$AQB$$, $$BPC$$ и $$ARC$$ подобны, а их углы соответственно равны.
Ответ
Углы треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$ARC$$ соответственно равны.
