Упр.332 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.
2. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что $$OC=OD$$, если $$AC=AO=BO=BD$$.

Пусть прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$. По условию $$AC=AO=BO=BD$$.

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BOD$$.

1. $$\angle COA=\angle BOD$$ как вертикальные.
2. $$AC=AO$$, значит треугольник $$ACO$$ равнобедренный, поэтому $$\angle ACO=\angle COA$$.
3. $$BO=BD$$, значит треугольник $$BOD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle BOD=\angle BDO$$.

Из пунктов 1–3 получаем:

$$\angle ACO=\angle BDO.$$

Теперь найдём углы при вершинах $$A$$ и $$B$$:

$$\angle A=180^\circ-\angle ACO-\angle COA,$$

$$\angle B=180^\circ-\angle BDO-\angle BOD.$$

Так как $$\angle ACO=\angle BDO$$ и $$\angle COA=\angle BOD$$, то $$\angle A=\angle B$$.

Следовательно, треугольники $$ACO$$ и $$BOD$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

$$AO=BO,$$ $$\angle ACO=\angle BDO,$$ $$\angle COA=\angle BOD.$$

Отсюда соответствующие стороны равны:

$$OC=OD.$$

Ответ: $$OC=OD$$.