Упр.331 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Построим биссектрисы двух углов, образованных при пересечении прямых, отметим точку A на пересечении и точку B на одной из биссектрис, из точки B опустим перпендикуляры на эти прямые, тогда треугольник ABF=треугольник ABE по гипотенузе и острому углу, откуда BF=BE;
Ответ: две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении этих прямых.
Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Подробный ответ

Точки, равноудалённые от двух пересекающихся прямых, лежат на биссектрисах углов, образованных этими прямыми.

Пусть прямые пересекаются в точке $$A$$. Возьмём точку $$B$$ на одной из биссектрис и опустим из неё перпендикуляры $$BE$$ и $$BF$$ на данные прямые. Тогда $$\angle AEB=\angle AFB=90^\circ$$, $$AB$$ — общая гипотенуза, а $$\angle BAE=\angle BAF$$, так как $$AB$$ лежит на биссектрисе.

Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle ABF$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, $$BE=BF$$, то есть точка $$B$$ равноудалена от обеих прямых.

Обратно, если точка равноудалена от двух пересекающихся прямых, то она лежит на биссектрисе одного из углов между ними. Поэтому искомое геометрическое место состоит из двух прямых — биссектрис двух вертикальных углов.

Для второго задания рассмотрим два треугольника, у которых равны две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого. Если данный угол лежит между данными сторонами в обоих треугольниках, то треугольники равны по признаку $$SAS$$. Но если в одном треугольнике этот угол заключён между данными сторонами, а в другом — нет, то треугольники могут быть неравными.

Например, пусть в $$\triangle ABC$$ даны стороны $$AB$$ и $$AC$$ и угол $$\angle A$$ между ними, а в другом треугольнике одна из равных сторон лежит напротив данного угла. Тогда по этим данным можно построить треугольники с разными третьими сторонами, значит, они не обязаны быть равными.