Упр.324 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) $$30^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$15^\circ$$; г) $$120^\circ$$; д) $$150^\circ$$; е) $$135^\circ$$; ж) $$165^\circ$$; з) $$75^\circ$$; и) $$105^\circ$$.
- Пусть угол $$\angle hk$$ — меньший из двух смежных углов $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$. Докажите, что $$\angle hk=90^\circ-\frac{1}{2}(\angle hl-\angle hk)$$, $$\angle hl=90^\circ+\frac{1}{2}(\angle hl-\angle hk)$$.
Пусть сначала построен прямой угол $$\angle AOB=90^\circ$$.
Тогда, чтобы получить угол $$30^\circ$$, делим угол $$\angle AOB$$ пополам и затем ещё раз пополам: так получаем $$45^\circ$$ и $$22{,}5^\circ$$; для построения $$30^\circ$$ удобнее воспользоваться равносторонним треугольником: на луче $$OA$$ откладываем $$OB=OA$$ и строим равносторонний треугольник, тогда угол при вершине равен $$60^\circ$$, а его половина — $$30^\circ$$.
Аналогично строятся остальные углы:
- $$60^\circ$$ — как угол равностороннего треугольника;
- $$15^\circ$$ — как половина угла $$30^\circ$$;
- $$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$;
- $$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$;
- $$135^\circ=90^\circ+45^\circ$$;
- $$165^\circ=180^\circ-15^\circ$$;
- $$75^\circ=90^\circ-15^\circ$$;
- $$105^\circ=90^\circ+15^\circ$$.
Если же требуется доказать формулы для смежных углов $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$, где $$\angle hk<\angle hl$$, то используем свойство смежных углов:
$$\angle hk+\angle hl=180^\circ.$$
Тогда
$$\angle hk=180^\circ-\angle hl.$$
Вычтем из обеих частей равенства $$180^\circ=\angle hk+\angle hl$$ угол $$\angle hk$$:
$$\angle hl-\angle hk=180^\circ-2\angle hk,$$
откуда
$$2\angle hk=180^\circ-(\angle hl-\angle hk),$$
и значит
$$\angle hk=90^\circ-\frac12(\angle hl-\angle hk).$$
Аналогично:
$$2\angle hl=180^\circ+(\angle hl-\angle hk),$$
следовательно
$$\angle hl=90^\circ+\frac12(\angle hl-\angle hk).$$
Ответ: $$30^\circ,\ 60^\circ,\ 15^\circ,\ 120^\circ,\ 150^\circ,\ 135^\circ,\ 165^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ.$$
