Упр.316 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Подробный ответ

Обозначим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$, а $$CD$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$.

Докажем, что $$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CDB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDB$$. Имеем:

$$\angle ACB=\angle CDB=90^\circ,$$

$$\angle B$$ — общий, значит,

$$\angle DCB=90^\circ-\angle B,$$

$$\angle CAB=90^\circ-\angle B.$$

Следовательно, $$\angle DCB=\angle CAB$$, а значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle CDB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$. Имеем:

$$\angle ACB=\angle CDA=90^\circ,$$

$$\angle A$$ — общий, значит,

$$\angle ACD=90^\circ-\angle A,$$

$$\angle ABC=90^\circ-\angle A.$$

Следовательно, $$\angle ACD=\angle ABC$$, откуда

$$\triangle ABC \sim \triangle ACD.$$

Наконец, для треугольников $$ACD$$ и $$CDB$$ имеем:

$$\angle ADC=\angle CDB=90^\circ,$$

$$\angle ACD=\angle ABC,$$

$$\angle DCB=\angle CAB.$$

Значит,

$$\triangle ACD \sim \triangle CDB.$$

Итак, все три треугольника подобны:

$$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CDB.$$

Построение треугольника по стороне $$AB=c$$, высоте $$a$$, проведённой к ней, и медиане $$b$$, проведённой к одной из двух других сторон:

Построим две параллельные прямые на расстоянии $$a$$.
На одной из них отложим отрезок $$AB=c$$.
Построим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$2b$$. Точку пересечения этой окружности с второй параллельной прямой обозначим $$D$$.
Отметим точку $$M$$ — середину отрезка $$AB$$.
Проведём луч $$BM$$. Точку пересечения этого луча со второй параллельной прямой обозначим $$C$$.

Треугольник $$ABC$$ построен.