Упр.314 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что если АВ = АС + СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой. Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и острому углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипотенузе и катету.

Подробный ответ

Предположим, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой. Тогда они образуют треугольник $$ABC$$.

В треугольнике сумма двух сторон больше третьей, значит

$$AB<AC+BC.$$

Но по условию $$AB=AC+BC$$. Получили противоречие. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Построение прямоугольного треугольника.

а) По гипотенузе и острому углу.
1) На одной из сторон данного угла откладываем отрезок $$AB=a$$, равный гипотенузе.
2) Из точки $$B$$ строим перпендикуляр ко второй стороне угла.
3) Точку пересечения перпендикуляра со второй стороной угла обозначаем $$C$$.

Тогда $$\angle C=90^\circ$$, а $$AB$$ — гипотенуза, значит построен прямоугольный треугольник $$ABC$$.

б) По катету и противолежащему углу.
1) На одной из сторон данного угла отмечаем произвольную точку $$C_1$$ и восстанавливаем в ней перпендикуляр; на нём откладываем $$C_1B_1=a$$.
2) Из точки $$B_1$$ строим перпендикуляр к $$C_1B_1$$ и отмечаем точку $$B$$ на пересечении этого перпендикуляра со второй стороной угла.
3) Из точки $$B$$ строим перпендикуляр ко второй стороне угла.
4) Точку пересечения этого перпендикуляра с первой стороной угла обозначаем $$C$$.

Получаем прямоугольный треугольник $$ABC$$, у которого $$BC=a$$ и заданный угол равен противолежащему.

в) По гипотенузе и катету.
1) Строим прямую и откладываем на ней отрезок $$BC=a$$.
2) В точке $$C$$ восстанавливаем перпендикуляр к этой прямой.
3) Строим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$c$$, где $$c$$ — длина гипотенузы.
4) Точку пересечения окружности с перпендикуляром обозначаем $$A$$.

Тогда $$\angle C=90^\circ$$, $$BC=a$$, $$AB=c$$, значит треугольник $$ABC$$ — искомый.