Упр.312 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если точка $$M$$ лежит внутри треугольника $$ABC$$, то $$MB + MC < AB + AC$$.
2. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Рассмотрим точку $$D$$ на стороне $$AC$$ так, что $$B, M, D$$ лежат на одной прямой, а точка $$D$$ находится между $$M$$ и $$C$$.

Тогда в треугольнике $$MDC$$ по неравенству треугольника имеем

$$MC<MD+DC.$$

В треугольнике $$ADB$$ также по неравенству треугольника

$$BD<AB+AD.$$

Так как $$B, M, D$$ лежат на одной прямой и $$M$$ находится между $$B$$ и $$D$$, то

$$BD=BM+MD.$$

Следовательно,

$$BM+MD<AB+AD.$$

Сложим полученные неравенства:

$$MC+BM+MD<MD+DC+AB+AD.$$

Сократим $$MD$$:

$$BM+MC<AB+AD+DC.$$

Но $$AD+DC=AC$$, значит

$$BM+MC<AB+AC.$$

Что и требовалось доказать.