Упр.311 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике $$ABC$$ медиана $$AM$$ меньше полусуммы сторон $$AB$$ и $$AC$$.
2. Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, тогда $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Продолжим медиану $$AM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$MD=AM$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMD$$. У них:

• $$AM=MD$$ по построению;
• $$BM=MC$$, так как $$M$$ — середина $$BC$$;
• $$\angle AMC=\angle BMD$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AC=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По неравенству треугольника

$$AD<AB+BD.$$

Но $$AD=AM+MD=2AM$$, а $$BD=AC$$. Тогда

$$2AM<AB+AC.$$

Разделим обе части неравенства на $$2$$:

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AM<\frac{AB+AC}{2}$$