Упр.310 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что: а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2, б) если АМ1 < AM2, то НМ1 < НМ2. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. Они прямоугольные, так как $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$.

Кроме того, $$AH$$ — общий катет, а по условию $$AM_1=AM_2$$. Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$ по двум катетам.

Отсюда $$HM_1=HM_2$$.

б) Рассмотрим те же прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$.

По теореме Пифагора:

$$HM_1=\sqrt{AM_1^2-AH^2}, \qquad HM_2=\sqrt{AM_2^2-AH^2}.$$

Так как $$AM_1<AM_2$$, то

$$AM_1^2-AH^2<AM_2^2-AH^2,$$

а значит, и

$$\sqrt{AM_1^2-AH^2}<\sqrt{AM_2^2-AH^2}.$$

Следовательно, $$HM_1<HM_2$$.

В равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны. Действительно, если два треугольника равны, то их соответствующие стороны равны, а соответствующие высоты можно рассмотреть как отрезки, получающиеся в равных прямоугольных треугольниках. Поэтому такие высоты равны.