Упр.309 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$A$$ к прямой $$a$$ проведены перпендикуляр $$AH$$ и наклонные $$AM_1$$ и $$AM_2$$. Докажите, что: а) если $$HM_1=HM_2$$, то $$AM_1=AM_2$$; б) если $$HM_1
2. В треугольнике с неравными сторонами $$AB$$ и $$AC$$ проведены высота $$AH$$ и биссектриса $$AD$$. Докажите, что угол $$HAD$$ равен полуразности углов $$B$$ и $$C$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$.

Они прямоугольные, так как $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$. Кроме того, $$AH$$ — общий катет.

а) Если $$HM_1=HM_2$$, то у прямоугольных треугольников $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$ равны два катета: $$AH$$ и $$HM_1=HM_2$$. Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$, откуда

$$AM_1=AM_2.$$

б) Если $$HM_1<HM_2$$, то в прямоугольных треугольниках $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$ при одном и том же катете $$AH$$ большему второму катету соответствует большая гипотенуза. Значит,

$$AM_1<AM_2.$$

Ответ: а) $$AM_1=AM_2$$; б) $$AM_1<AM_2$$.