Упр.307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ =QR = RB = BC. Найдите угол А. В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Подробный ответ

Обозначим $$\angle A = y.$$ Так как $$AB = AC,$$ то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle B = \angle C.$$

Рассмотрим $$\triangle APQ.$$ По условию $$AP = PQ,$$ следовательно, $$\triangle APQ$$ равнобедренный, и потому $$\angle A = \angle PQA = y.$$ Тогда

$$\angle APQ = 180^\circ — 2y.$$

Рассмотрим $$\triangle PQR.$$ Так как $$PQ = QR,$$ то он равнобедренный, значит $$\angle QPR = \angle QRP.$$ Кроме того, углы $$\angle APQ$$ и $$\angle QPR$$ смежные, поэтому

$$\angle QPR = 180^\circ — \angle APQ = 180^\circ — (180^\circ — 2y) = 2y.$$

Тогда

$$\angle PQR = 180^\circ — \angle QPR — \angle QRP = 180^\circ — 4y.$$

Рассмотрим $$\triangle QRB.$$ Так как $$QR = RB,$$ то он равнобедренный, значит $$\angle BQR = \angle QBR.$$ Угол $$\angle BQR$$ смежный с углом $$\angle PQR,$$ поэтому

$$\angle BQR = 180^\circ — \angle PQR = 180^\circ — (180^\circ — 4y) = 4y.$$

Следовательно, $$\angle QBR = 4y.$$ Тогда в равнобедренном $$\triangle QRB$$

$$\angle QRB = 180^\circ — 2\cdot 4y = 180^\circ — 8y.$$

Рассмотрим $$\triangle RBC.$$ Так как $$RB = BC,$$ то он равнобедренный, значит $$\angle BRC = \angle BCR.$$ Угол $$\angle BRC$$ смежный с углом $$\angle QRB,$$ поэтому

$$\angle BRC = 180^\circ — \angle QRB = 180^\circ — (180^\circ — 8y) = 8y.$$

Тогда $$\angle BCR = 8y.$$ Но в равнобедренном $$\triangle ABC$$ углы при основании равны, значит

$$\angle B = \angle C = 8y.$$

Теперь по сумме углов треугольника $$ABC$$ получаем:

$$y + 8y + 8y = 180^\circ,$$

$$17y = 180^\circ,$$

$$y = \frac{180^\circ}{17}.$$

Следовательно,

$$\angle A = \frac{180^\circ}{17}.$$