Упр.302 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.
2. Из точки $$A$$ к прямой $$a$$ проведены перпендикуляр $$AH$$ и наклонные $$AM_1$$ и $$AM_2$$. Докажите, что:
   а) если $$AM_1 = AM_2$$, то $$HM_1 = HM_2$$;
   б) если $$AM_1 < AM_2$$, то $$HM_1 < HM_2$$.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. У них:

• $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$, так как $$AH \perp a$$;
• $$AH$$ — общий катет;
• $$AM_1=AM_2$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$ по двум катетам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$HM_1=HM_2.$$

б) Снова рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. По теореме Пифагора:

$$HM_1=\sqrt{AM_1^2-AH^2},$$
$$HM_2=\sqrt{AM_2^2-AH^2}.$$

Так как $$AM_1<AM_2$$, то

$$AM_1^2-AH^2<AM_2^2-AH^2,$$

а значит, после извлечения корня получаем

$$HM_1<HM_2.$$

Ответ

а) $$HM_1=HM_2$$; б) $$HM_1<HM_2$$.