Упр.302 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что: а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2, б) если АМ1 < AM2, то НМ1 < НМ2.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. Они прямоугольные, так как $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1 = \angle AHM_2 = 90^\circ$$.

В этих треугольниках:

$$AH$$ — общий катет,

$$AM_1 = AM_2$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$ по двум катетам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$HM_1 = HM_2.$$

б) Снова рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$.

По теореме Пифагора:

$$HM_1^2 = AM_1^2 — AH^2,$$

$$HM_2^2 = AM_2^2 — AH^2.$$

Так как $$AM_1 < AM_2$$, то после возведения в квадрат и вычитания одного и того же числа $$AH^2$$ получаем:

$$AM_1^2 — AH^2 < AM_2^2 — AH^2,$$

то есть

$$HM_1^2 < HM_2^2.$$

Поскольку длины отрезков положительны, из неравенства квадратов следует:

$$HM_1 < HM_2.$$

Ответ

а) $$HM_1 = HM_2$$; б) $$HM_1 < HM_2$$.