Упр.300 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны отрезки $$P_1Q_1$$, $$P_2Q_2$$ и $$P_3Q_3$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы:
а) $$AB = P_1Q_1$$, $$BC = P_2Q_2$$, $$CA = 2P_3Q_3$$;
б) $$AB = 2P_1Q_1$$, $$BC = P_2Q_2$$, $$CA = \frac{3}{2}P_3Q_3$$.
Всегда ли задача имеет решение? - Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
Пусть даны отрезки $$P_1Q_1,\; P_2Q_2,\; P_3Q_3.$$ Построим треугольник по трём сторонам.
а)
Нужно построить треугольник со сторонами
$$AB=P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=2P_3Q_3.$$
Для этого возьмём отрезок $$BC=P_2Q_2$$ как основание. Затем построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$P_1Q_1$$, а также окружность с центром в точке $$C$$ и радиусом $$2P_3Q_3.$$ Точка их пересечения обозначим через $$A.$$ Тогда
$$AB=P_1Q_1,\quad AC=2P_3Q_3,\quad BC=P_2Q_2,$$
значит, треугольник $$ABC$$ построен.
Однако решение существует не всегда: необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника
$$P_1Q_1+P_2Q_2>2P_3Q_3,$$
а также два других неравенства, получающиеся перестановкой сторон. Если хотя бы одно из них нарушается, треугольник построить нельзя.
б)
Теперь стороны должны быть равны
$$AB=2P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=\frac{3}{2}P_3Q_3.$$
Аналогично берём отрезок $$BC=P_2Q_2$$ за основание. Строим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$2P_1Q_1,$$ а также окружность с центром в точке $$C$$ и радиусом $$\frac{3}{2}P_3Q_3.$$ Их точка пересечения и есть вершина $$A.$$
Но и здесь задача имеет решение не всегда: должно выполняться неравенство треугольника
$$2P_1Q_1+P_2Q_2>\frac{3}{2}P_3Q_3,$$
и аналогичные неравенства для других пар сторон. Если они не выполняются, построение невозможно.
Вывод: задача имеет решение только тогда, когда длины, заданные в пунктах а) и б), удовлетворяют неравенствам треугольника.
