Упр.297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны два угла $$\angle hk$$ и $$\angle h_1k_1$$ и отрезок $$PQ$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы $$AB=PQ$$, $$\angle A=\angle hk$$, $$\angle B=\frac{1}{2}\angle h_1k_1$$.
2. На стороне $$AD$$ треугольника $$ADC$$ отмечена точка В так, что $$BC=BD$$. Докажите, что прямая $$DC$$ параллельна биссектрисе угла $$ABC$$.

Пусть $$BF$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, а точка $$F$$ лежит на стороне $$AC$$.

Так как $$BC=BD$$, то треугольник $$BDC$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle BDC=\angle DCB.$$

Обозначим $$\angle DCB=x$$. Тогда $$\angle BDC=x$$, и внешний угол треугольника $$BDC$$ при вершине $$B$$ равен сумме двух внутренних несмежных углов:

$$\angle ABC=\angle BDC+\angle DCB=x+x=2x.$$

Но $$BF$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, значит,

$$\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC=x.$$

Следовательно,

$$\angle ABF=\angle DCB.$$

Углы $$\angle ABF$$ и $$\angle DCB$$ — соответственные при секущей $$BC$$, поэтому прямые $$BF$$ и $$DC$$ параллельны.

Итак, $$BF \parallel DC$$.