Упр.297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, угол A = угол hk, угол B = 1/2 угол h1k1 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Подробный ответ

Пусть $$BF$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, а точка $$F$$ лежит на стороне $$AC$$.

Так как $$BC=BD$$, то треугольник $$BDC$$ равнобедренный, значит его углы при основании равны:

$$\angle BDC=\angle DCB.$$

Обозначим $$\angle DCB=x$$. Тогда $$\angle BDC=x$$, а внешний угол треугольника $$BDC$$ при вершине $$B$$ равен

$$\angle DBC=\angle BDC+\angle DCB=2x.$$

Но точки $$A, B, D$$ лежат на одной прямой, поэтому угол $$\angle ABC$$ является внешним углом треугольника $$BDC$$:

$$\angle ABC=\angle DBC=2x.$$

Так как $$BF$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, то

$$\angle ABF=\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ABC=x.$$

Следовательно,

$$\angle ABF=\angle DCB.$$