Упр.283 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На основании АВ равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC. Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание равно $$AB$$, а боковые стороны равны: $$AC=BC$$. Точка $$M$$ лежит на основании $$AB$$ и равноудалена от боковых сторон $$AC$$ и $$BC$$.
Опустим из точки $$M$$ перпендикуляры на стороны $$AC$$ и $$BC$$: пусть $$ME \perp AC$$, $$MF \perp BC$$. По условию $$EM=MF$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEM$$ и $$\triangle MFB$$. У них:
- $$\angle AEM=\angle MFB=90^\circ$$;
- $$\angle EAM=\angle MBF$$, так как $$AM$$ и $$MB$$ лежат на одной прямой $$AB$$, а в равнобедренном треугольнике $$\angle A=\angle B$$;
- $$EM=MF$$ по условию.
Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle MFB$$ по катету и прилежащему острому углу. Отсюда получаем:
$$AM=MB.$$
Значит, точка $$M$$ — середина основания $$AB$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому прямая $$CM$$ перпендикулярна $$AB$$, то есть $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.
Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных по разные стороны от неё на этом расстоянии.
Ответ
$$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$. Множество всех точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, — это две прямые, параллельные данной прямой и лежащие по разные стороны от неё на этом расстоянии.
