Упр.282 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон. Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХУ, где X принадлежит a, Y принадлежит b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудалённой от этих прямых.

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle DEA$$ и $$\triangle DFC.$$

Они прямоугольные, так как $$DE \perp AB$$ и $$DF \perp BC.$$

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC,$$ а точка $$D$$ — середина основания $$AC,$$ значит $$AD=DC.$$

Кроме того, $$\angle DAE=\angle DCF$$ как углы при основании равнобедренного треугольника.

Следовательно, $$\triangle DEA \cong \triangle DFC$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда

$$DE=DF.$$

Значит, середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.

2) Пусть $$O$$ — середина отрезка $$XY,$$ где $$X \in a,$$ $$Y \in b,$$ а прямая $$c$$ проходит через $$O$$ и параллельна прямым $$a$$ и $$b.$$

Опустим перпендикуляры $$OO_1 \perp a$$ и $$OO_2 \perp b.$$ Тогда треугольники $$\triangle OO_1X$$ и $$\triangle OO_2Y$$ прямоугольные.

Так как $$a \parallel b,$$ то $$\angle OXO_1=\angle OYO_2$$ как накрест лежащие углы, а по условию $$OX=OY.$$

Следовательно, $$\triangle OO_1X \cong \triangle OO_2Y$$ по гипотенузе и острому углу, откуда

$$OO_1=OO_2.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$a$$ и $$b,$$ а прямая $$c$$, проходящая через все такие середины, параллельна $$a$$ и $$b$$ и равноудалена от них.

Ответ

Середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от боковых сторон. Середины всех отрезков $$XY$$ лежат на прямой, параллельной $$a$$ и $$b$$ и равноудалённой от них.