Упр.280 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равностороннем треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно $$6\ \text{см}$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$.
- Даны неразвёрнутый угол $$ABC$$ и отрезок $$PQ$$. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой $$BC$$ на расстояние $$PQ$$?
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$\angle ACB=60^\circ$$.
Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$D$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$DH=6$$ см, а $$DH\perp AC$$.
Поскольку $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$ равностороннего треугольника, то она одновременно является и высотой, значит $$AD\perp BC$$. Следовательно, расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$ равно $$AD$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$. Угол при вершине $$A$$ равен половине угла $$A$$ треугольника $$ABC$$:
$$\angle DAH=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, поэтому
$$AD=2\cdot DH=2\cdot 6=12\text{ см}.$$
Следовательно, расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$ равно $$12$$ см.
Ответ: $$12$$ см.
