Упр.279 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Подробный ответ

Пусть $$AC=x$$ — расстояние от точки до прямой, а $$AB$$ — наклонная. Тогда по условию

$$AB+AC=17,$$

$$AB-AC=1.$$

Сложим эти уравнения:

$$2AB=18,$$

откуда

$$AB=9.$$

Тогда

$$AC=17-9=8.$$

Значит, расстояние от точки до прямой равно $$8$$ см.

Докажем второе утверждение. Пусть все точки плоскости, лежащие по одну сторону от прямой $$a$$ и равноудалённые от неё, находятся на расстоянии $$h$$ от прямой $$a$$. Проведём через одну из таких точек прямую $$b$$, параллельную $$a$$. Тогда расстояние от любой точки прямой $$b$$ до прямой $$a$$ равно $$h$$, так как расстояние между параллельными прямыми постоянно.

Следовательно, все точки, равноудалённые от прямой $$a$$ и лежащие по одну сторону от неё, принадлежат одной прямой $$b$$, параллельной прямой $$a$$.