Упр.278 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. К гипотенузе $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ с углом $$15^\circ$$ проведены медиана $$CM$$ и высота $$CH$$. Найдите $$AB$$, если $$CH=4$$.
2. Прямая $$AB$$ параллельна прямой $$CD$$. Найдите расстояние между этими прямыми, если угол $$ADC=30^\circ$$, $$AD=6$$ см.

Так как $$\angle C=90^\circ$$, то треугольник $$ABC$$ прямоугольный, а $$AB$$ — его гипотенуза. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, значит

$$CM=\frac{AB}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то $$AM=CM$$. Следовательно, треугольник $$AMC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=15^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMC=180^\circ-(15^\circ+15^\circ)=150^\circ.$$

В треугольнике $$MCH$$ угол при точке $$H$$ прямой, а угол при точке $$M$$ равен

$$\angle CMH=180^\circ-\angle AMC=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$MCH$$ гипотенуза $$MC$$ вдвое больше катета, лежащего против угла $$30^\circ$$, поэтому

$$MC=2\cdot CH=2\cdot 4=8.$$

Тогда

$$AB=2\cdot CM=2\cdot 8=16.$$

Ответ: $$16$$ см.