Упр.275 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Внутри угла дана точка $$A$$. Постройте прямую, проходящую через точку $$A$$ и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
На основании $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$M$$ на стороны $$AC$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда $$ME \perp AC$$, $$MF \perp BC$$ и по условию $$ME=MF$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEM$$ и $$\triangle MFB$$. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны, значит $$\angle A=\angle B$$. Кроме того, $$\angle AEM=\angle MFB=90^\circ$$ и $$ME=MF$$. Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle MFB$$ по катету и острому углу.

Отсюда $$AM=MB$$. Значит, точка $$M$$ равноудалена от вершин $$A$$ и $$B$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к основанию $$AB$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$, является также высотой. Поэтому серединный перпендикуляр к $$AB$$ проходит через вершину $$C$$. Следовательно, прямая $$CM$$ перпендикулярна $$AB$$, то есть $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.